ByteDance Seed团队突破AI数学难题：让机器像顶尖数学家一样证明定理

这项由字节跳动种子团队（ByteDance Seed）的辛然、肖霞等研究人员联合卡内基梅隆大学和北京大学开发的突破性研究发表于2025年9月，论文题目为《Scaling up Multi-Turn Off-Policy RL and Multi-Agent Tree Search for LLM Step-Provers》。有兴趣深入了解的读者可以通过arXiv:2509.06493v1访问完整论文。

想象一下这样一个场景：你面对一道复杂的数学证明题，就像攀登一座高峰。普通人可能会被困在半山腰，但顶尖的数学家却能找到巧妙的路径，一步步推理到达顶峰。现在，研究团队成功训练出了一个名为BFS-Prover-V2的AI系统，它就像一位超级数学家，不仅能够独立完成复杂的数学证明，还在两个权威数学竞赛测试中取得了惊人成绩：在MiniF2F测试中达到95.08%的成功率，在ProofNet测试中达到41.4%的成功率。

这个成就有多了不起呢？可以这样理解：如果把数学证明比作解决复杂的推理谜题，那么这个AI系统已经达到了接近人类顶尖数学家的水平。更重要的是，这项研究不仅仅是为了炫技，它代表了AI在复杂推理领域的重大突破，未来可能应用于科学研究、工程设计甚至日常生活中需要严密逻辑推理的各个方面。

研究团队面临的核心挑战可以用登山探险来比喻：既要训练出一个强大的"向导"（训练时的强化学习），又要设计出一套高效的"探索策略"（推理时的搜索方法）。传统方法就像让一个人独自摸索攀登路径，既费时又容易迷路。而这个新系统则像配备了一个智能团队：有负责规划总体路线的"策划者"，还有多个并行工作的"实行者"，它们通过共享信息和协作，大大提高了解决复杂数学问题的效率。

一、让AI持续进步而不会"学傻"的训练秘诀

在训练AI数学家的过程中，研究团队遇到了一个就像教育孩子时常见的难题：刚开始学习进步很快，但到了一定程度就停滞不前，甚至越学越糊涂。这种现象在AI训练中被称为"性能平台期"，就好比一个学生在掌握了基础知识后，面对更难的题目时反而不知道如何应用已学的知识。

为了解决这个问题，研究团队设计了一套巧妙的"多阶段专家迭代"训练方法，这个方法的核心思想可以用烹饪来比喻。传统的训练方法就像把所有食材一股脑倒进锅里煮，结果往往是一锅粥。而新方法则像精心调配一道复杂菜肴：首先让AI尝试解决大量数学问题，记录下所有成功的解题步骤，然后像厨师筛选食材一样，仔细挑选出最有价值的学习素材。

这个筛选过程特别聪明。研究团队发现，AI生成的解题步骤在难度上呈现出类似正态分布的特征：有些步骤对AI来说太简单了，学了也没什么新收获；有些步骤又太复杂或者包含错误，学了反而会把AI教坏；只有那些处于"恰到好处"难度区间的步骤，才是最有价值的学习材料。这就像给孩子选择课外习题一样，太简单的题目浪费时间，太难的题目容易打击自信心，只有难度适中的题目才能真正促进学习。

更有趣的是，研究团队还设计了一个"软重启"机制。当AI的学习陷入停滞时，系统不是简单地从头开始，而是让已经变得很强的AI重新解决之前遇到的所有问题。由于AI现在比以前更聪明了，它往往能找到更简洁、更优雅的解决方案。然后系统会丢弃旧的、冗长的解题记录，只保留这些新的、精炼的解决方案来继续训练。这个过程就像让一个已经成熟的作家重新修改自己年轻时的作品，去掉冗余的部分，保留精华，结果往往能写出更好的版本。

通过这种方法，BFS-Prover-V2能够持续不断地自我提升，在长达十几轮的训练过程中始终保持进步态势，最终在MiniF2F测试中从初期的70%左右提升到了95.08%的惊人成绩。这种持续改进的能力，正是这项研究最重要的突破之一。

二、团队协作：让多个AI"大脑"像乐队一样合奏

解决复杂数学证明的另一个关键创新，就是设计了一个类似交响乐团的多智能体协作系统。传统的AI数学证明系统就像一个独奏演员，需要同时处理规划、执行、验证等所有任务，往往力不从心。而BFS-Prover-V2则像一个配合默契的小乐队，有明确的分工和协作机制。

在这个"乐队"中，有一个叫做"规划师"（Planner）的角色，它就像乐队的指挥家，负责把复杂的数学定理分解成一系列更简单的子目标。例如，面对一个复杂的几何证明问题，规划师可能会说："要证明这个结论，我们首先需要证明角A等于角B，然后证明三角形ABC是等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质得出最终结论。"这种分解策略大大降低了问题的复杂度，就像把一座高山分成几个较小的山坡来攀登。

与规划师配合的是多个"证明者"（Prover），它们就像乐队中的演奏员，专门负责解决规划师分配的具体子问题。这些证明者可以并行工作，同时攻克不同的子目标，大大提高了整体效率。更妙的是，它们还共享一个"成果库"，当其中一个证明者解决了某个子问题时，其他证明者立即就能使用这个结果，避免了重复劳动。

这种协作模式的优势可以用建造房屋来比喻。传统方法就像一个人既要设计图纸，又要砌墙，还要安装水电，效率自然很低。而新系统则像一个建筑团队：有建筑师负责整体设计和规划，有不同的工匠负责各自专长的具体施工，大家按照统一的图纸协调工作，不仅效率大大提升，质量也更有保障。

特别值得一提的是系统的"动态重规划"能力。当某个子问题比预期更难解决时，规划师不会死板地坚持原计划，而是会重新评估情况，将困难的子问题进一步分解成更小的部分。这就像一个经验丰富的登山向导，在发现原计划的路径过于险峻时，能够及时调整路线，寻找更安全可行的替代方案。

三、实战表现：在数学竞赛中的惊艳成绩

要验证这个AI数学家的真实水平，研究团队选择了两个极具挑战性的测试平台：MiniF2F和ProofNet。这两个测试就像数学界的"高考"和"奥数竞赛"，专门用来检验数学推理和证明能力。

MiniF2F测试包含了高中数学竞赛级别的问题，涵盖代数、几何、数论等各个领域。在这个测试中，BFS-Prover-V2取得了95.08%的成功率，这意味着它几乎能够解决所有高中数学竞赛级别的证明题。这个成绩有多厉害呢？可以这样理解：如果把它放在一群参加数学竞赛的优秀高中生中，它很可能会是那个近乎满分的"学霸"。

ProofNet测试则更加严苛，它包含了大学本科级别的数学问题，需要运用更深入的数学知识和更复杂的推理链条。在这个测试中，BFS-Prover-V2达到了41.4%的成功率。虽然这个数字看起来不如MiniF2F那么亮眼，但要知道这些问题的难度相当于大学数学专业的期末考试，41.4%的成功率已经相当于一个数学基础扎实的本科生的水平。

更令人印象深刻的是系统在解题方式上展现出的"创造性"。研究团队发现，BFS-Prover-V2经常能找到比传统方法更简洁、更优雅的证明路径。例如，在解决一道三角函数恒等式问题时，传统方法可能需要几十行复杂的代数运算，而BFS-Prover-V2却能通过巧妙地运用高级数学定理，用寥寥几步就得出结论。这种能力让它生成的证明不仅正确，而且往往更具数学美感。

与其他AI数学系统相比，BFS-Prover-V2的优势也很明显。例如，之前的一些系统在MiniF2F上的最好成绩大约在70-80%左右，而BFS-Prover-V2直接突破了95%的大关，这个提升幅度相当可观。这种进步不仅仅是数字上的改善，更代表了AI在复杂推理能力上的质的飞跃。

四、创新技术的深度剖析

BFS-Prover-V2的成功源于几个关键技术创新，每一个都像拼图中的重要片段，缺一不可。

首先是"自适应数据筛选"技术，这可以比作一个智能的私人教师。传统的AI训练就像让学生做海量习题，不管难易程度一律要求掌握，结果往往事倍功半。而这个新技术能够根据AI当前的能力水平，自动筛选出最适合的学习材料。它通过分析AI对不同类型问题的"困惑度"（可以理解为AI觉得这个问题有多难），将所有的学习材料分为三类：太简单的（AI已经完全掌握，学了也没用），太复杂的（AI暂时理解不了，学了反而有害），以及恰到好处的（能够促进AI进步的优质素材）。

这种筛选不是一成不变的，而是随着AI能力的提升而动态调整的。就像一个好老师会根据学生的学习进度调整教学内容一样，系统会不断重新评估什么样的问题对当前的AI最有价值。这种个性化的学习方案确保了AI始终在最适合自己的难度区间内学习，避免了传统方法中常见的"学习高原"现象。

第二个重要创新是"多轮对话式推理"框架。传统的AI数学证明系统往往是"一次性"的：给出问题，输出答案，中间没有交互。这就像让学生在考试时不能打草稿、不能修改、必须一次性写出完美答案一样不现实。而BFS-Prover-V2采用了步骤化的推理方式，每次只需要想出下一步应该怎么做，然后根据结果再决定后续策略。

这种方式的优势在于灵活性和容错性。当AI发现某一步推理有问题时，它可以回退并尝试其他方法，而不需要从头开始。这就像解数学题时可以随时擦掉错误的部分重新来过，大大提高了解题的成功率。同时，这种分步骤的推理也更容易被人类理解和验证，因为每一步都有明确的逻辑和目的。

第三个创新是"缓存共享机制"，这可以比作一个团队共用的"知识库"。当系统中的某个证明者成功解决了一个子问题时，这个解决方案会立即被保存到共享缓存中，其他证明者在遇到相同或相似问题时就可以直接使用，而不需要重复推导。这不仅提高了效率，还确保了整个系统推理的一致性。

五、突破传统局限的巧妙设计

传统的AI数学证明系统面临着两个主要困境，研究团队用创新的方法一一破解。

第一个困境是"组合爆炸"问题。数学证明往往涉及大量可能的推理路径，每一步都有多种选择，这些选择组合起来形成了一个天文数字般庞大的搜索空间。传统方法就像在一个巨大的迷宫中盲目搜索，即使有再强大的计算能力也容易迷失方向。

BFS-Prover-V2通过分层规划的方式巧妙地解决了这个问题。它不是在原始的巨大搜索空间中探索，而是先由规划师将问题分解成若干子目标，将一个复杂的大迷宫变成几个相对简单的小迷宫。这种"分治"策略不仅降低了搜索的复杂度，还让搜索过程更加有针对性和高效。

第二个困境是"长期依赖"问题。复杂的数学证明往往需要很多步骤，前面步骤的结果需要在后面的推理中使用，这就像接龙游戏一样，任何一个环节出错都会影响最终结果。传统的AI系统在处理这种长链条推理时经常会"忘记"前面的重要信息，或者无法有效利用之前建立的中间结果。

研究团队通过精心设计的"上下文管理"机制解决了这个问题。系统不仅能够记住之前的所有推理步骤，还能智能地判断哪些历史信息对当前步骤最重要。这就像一个经验丰富的数学家在解题时，总能在关键时刻回想起之前证明的重要结论，并巧妙地应用到新的推理中。

六、实际应用案例的深入分析

为了更好地展示BFS-Prover-V2的实际能力，研究团队提供了几个具体的解题案例，这些案例生动地展现了系统的推理过程和创新之处。

在一个经典的国际数学奥林匹克问题中，系统展现了令人印象深刻的"策略性思维"。面对一个复杂的几何证明题，规划师首先分析了问题的整体结构，识别出这是一个需要综合运用相似三角形、角平分线性质和面积关系的综合题。然后它制定了一个多阶段的解题策略：首先建立坐标系简化计算，然后证明几个关键的相似关系，最后利用这些关系推导出最终结论。

在执行过程中，当其中一个证明者在尝试直接证明相似关系时遇到困难，规划师立即调整了策略，将这个困难的步骤进一步分解为更小的子目标。这种灵活的策略调整让系统最终成功解决了这个问题，而且找到的证明路径比标准解法更加简洁明了。

另一个有趣的案例涉及一个复杂的代数恒等式证明。在这个问题中，BFS-Prover-V2表现出了类似人类数学家的"直觉"。它没有采用常规的暴力展开和化简方法，而是敏锐地识别出这个恒等式与某个经典的数学定理有内在联系。通过巧妙地引用这个定理，系统用几行简单的推理就完成了原本可能需要几页纸才能完成的证明。

这些案例揭示了BFS-Prover-V2的一个重要特点：它不仅仅是一个"计算机器"，更像一个有"数学品味"的智能助手。它能够选择更优雅、更有洞察力的解题方法，这种能力在某种程度上接近了人类数学家的思维方式。

七、与现有技术的深度比较

BFS-Prover-V2的突破性表现更加凸显了它相对于现有技术的优势。当前主流的AI数学证明系统大致可以分为两类：整体生成式和分步交互式。

整体生成式系统就像要求学生一次性写出完整的证明过程，不允许任何修改或调整。这种方法虽然在处理简单问题时效率较高，但面对复杂问题时往往力不从心。因为数学证明往往需要试探性的推理和策略调整，一次性生成的方法很难应对这种不确定性。

分步交互式系统则允许逐步推理，但大多数现有系统缺乏有效的全局规划能力，往往在推理过程中迷失方向。这就像一个人知道如何走每一步，但不知道整体应该朝哪个方向前进。

BFS-Prover-V2巧妙地融合了两种方法的优势：既有全局的战略规划（通过规划师实现），又有灵活的局部执行（通过分步证明者实现）。这种结合让它在保持推理灵活性的同时，避免了方向性的迷失。

在具体性能对比中，BFS-Prover-V2的优势更加明显。例如，在MiniF2F测试中，之前最好的系统成绩大约在73%左右，而BFS-Prover-V2达到了95.08%，这个提升幅度相当惊人。更重要的是，这种提升不是通过简单增加计算资源实现的，而是通过更智能的算法设计获得的，这意味着它的方法具有更好的可扩展性和实用价值。

八、技术细节的通俗解读

BFS-Prover-V2的核心技术可以用建造一座复杂建筑来比喻，每个技术组件都像建筑中的重要构件，缺一不可且相互配合。

"最佳优先搜索"算法就像一个智能的工程监理，它总是优先选择最有希望成功的施工方案。传统的搜索方法就像按部就班地尝试每一种可能，效率很低。而最佳优先搜索则会评估每个选择的"成功概率"，优先探索那些看起来最有希望的路径。这种策略大大减少了无效的尝试，提高了整体效率。

"强化学习"机制则像一个会总结经验的熟练工匠。每次解决问题后，系统都会分析什么样的决策导致了成功，什么样的选择导致了失败，然后相应地调整自己的策略。随着经验的积累，系统的"直觉"越来越准确，能够更快地找到正确的解题路径。

"多智能体协调"技术类似于一个高效的项目管理系统。不同的智能体之间通过标准化的"通信协议"交换信息，就像建筑工地上的各个工种通过对讲机和图纸进行协调。这种协调机制确保了所有组件都朝着同一个目标努力，避免了重复劳动和冲突。

特别值得一提的是系统的"自我监督学习"能力。这就像一个能够自我反思的学习者：当系统成功解决一个问题后，它会分析自己的解题过程，提取其中的有效模式和策略，然后将这些经验应用到新的问题中。这种能力让系统能够不断自我改进，而不需要额外的人工标注数据。

九、未来应用前景的广阔天地

BFS-Prover-V2的意义远远超出了数学证明本身，它代表了AI在复杂推理领域的重大突破，具有广泛的应用前景。

在教育领域，这项技术可能会彻底改变数学教学的方式。想象一下有一个永远不会疲倦、永远有耐心的数学老师，它能够为每个学生量身定制学习方案，在学生遇到困难时提供恰到好处的提示和指导。这个AI助教不仅能够检查学生作业的对错，还能分析学生的推理过程，找出逻辑漏洞，并建议改进方法。

在科学研究领域，这种推理能力可以协助科学家进行复杂的理论推导和假设验证。许多科学发现都需要严密的数学证明作为支撑，而BFS-Prover-V2这样的系统可以帮助研究者快速验证新理论的数学基础，或者发现现有理论中的潜在问题。这就像给科学家配备了一个永不出错的计算助手，能够处理那些繁琐但重要的理论验证工作。

在工程设计领域，严密的逻辑推理同样至关重要。无论是设计安全的桥梁、高效的算法，还是可靠的软件系统，都需要大量的数学建模和推理验证。BFS-Prover-V2的技术可以帮助工程师更快速、更可靠地完成这些验证工作，减少设计错误，提高产品质量。

甚至在日常生活中，这种推理能力也有潜在的应用价值。例如，在法律条文解释、投资决策分析、医疗诊断推理等需要严密逻辑思维的场景中，这项技术都可能发挥重要作用。当然，在这些应用中，AI不会完全取代人类专家，而是作为一个强有力的辅助工具，帮助人们进行更准确、更全面的分析。

十、技术挑战与解决方案

开发BFS-Prover-V2的过程中，研究团队遇到了许多技术挑战，他们的解决方案展现了深刻的洞察力和创新精神。

最大的挑战之一是如何让AI"学会学习"。传统的机器学习方法通常需要大量标注好的训练数据，但数学证明领域很难获得这样的数据。研究团队巧妙地利用了数学的一个特殊性质：正确的证明可以通过形式化系统自动验证。这就像有一个绝对公正的裁判，能够立即判断一个证明是否正确。基于这个特点，他们设计了一个自我生成训练数据的方法：让AI尝试证明各种定理，然后用形式化系统验证结果，成功的证明就成为了训练数据。

另一个重大挑战是如何处理"组合爆炸"问题。数学证明的搜索空间往往是指数级增长的，即使是最强大的计算机也无法穷尽所有可能性。研究团队的解决方案是设计了一套"智能剪枝"策略，就像一个经验丰富的园丁知道哪些枝条值得保留，哪些应该及时修剪。系统会根据历史经验和启发式规则，提前排除那些不太可能成功的推理路径，将计算资源集中在最有希望的方向上。

第三个挑战是如何平衡探索和利用的关系。这是一个经典的策略选择问题：是应该继续深入已经证明有效的方法（利用），还是应该尝试新的、可能更好的方法（探索）？研究团队设计了一个动态平衡机制，让系统在训练初期更多地进行探索，发现各种可能的解题策略；在训练后期更多地进行利用，专注于提升已经证明有效的方法。这种策略确保了系统既能发现创新的解题方法，又能在现有基础上不断精进。

十一、与人类数学家思维的对比

BFS-Prover-V2展现出的推理能力让人们开始思考一个有趣的问题：AI的数学思维和人类数学家的思维有什么异同？

从相似性来看，BFS-Prover-V2确实表现出了一些类似人类数学家的特征。例如，它会使用"分解"策略，将复杂问题拆分为简单子问题；它会进行"类比推理"，将新问题与已知的模式进行匹配；它甚至会表现出某种"审美偏好"，倾向于选择更简洁、更优雅的证明路径。

但两者之间也存在显著差异。人类数学家往往依赖直觉和创造性思维，能够进行跳跃性的推理，有时甚至能"猜"出正确的结论然后再寻找证明。而BFS-Prover-V2更多地依赖系统性的搜索和模式匹配，它的每一步推理都有明确的逻辑依据。

另一个有趣的差异是对错误的处理方式。人类数学家在犯错时往往能够通过反思找出错误的根源，并从中获得深刻的洞察。而AI系统目前更多的是通过试错来学习，虽然效率很高，但可能缺乏那种深层次的理解。

不过，这些差异并不意味着一种方法比另一种更优越。实际上，AI和人类的思维方式各有优势，最理想的情况可能是两者的结合：AI提供强大的计算能力和系统性搜索能力，人类提供创造性思维和深层理解，共同攻克更复杂的数学难题。

十二、对AI发展的深远影响

BFS-Prover-V2的成功不仅是数学证明领域的突破，也为整个AI发展提供了重要启示。

首先，它证明了"分而治之"策略在AI系统设计中的巨大潜力。通过将复杂任务分解为多个相对简单的子任务，然后设计专门的子系统来处理不同类型的子任务，可以大大提高系统的整体性能。这种思路可以推广到其他AI应用领域，如自然语言处理、计算机视觉、机器人控制等。

其次，它展示了自我监督学习的强大威力。在标注数据稀缺的领域，如何让AI系统自己生成学习材料是一个关键问题。BFS-Prover-V2通过巧妙利用数学证明的可验证性，设计了一套自我生成训练数据的方法。这种思路对其他需要严密逻辑推理的AI应用具有重要参考价值。

第三，它突破了传统AI系统在长序列推理方面的限制。许多AI任务都涉及多步骤的复杂推理，如何维持长期的一致性和连贯性一直是个难题。BFS-Prover-V2通过精心设计的架构和训练方法，展现了在这方面的巨大潜力。

最重要的是，这项研究表明AI在复杂推理任务上的能力正在快速接近甚至超越人类专家水平。这不仅意味着AI可以在更多领域发挥重要作用，也提醒我们需要重新思考人机协作的模式和AI技术的社会影响。

说到底，BFS-Prover-V2的意义远远超出了技术本身。它代表了人类在创造智能系统方面取得的一个重要里程碑，展现了AI技术在解决复杂问题方面的巨大潜力。当然，这只是开始。随着技术的进一步发展，我们有理由相信，AI将在更多领域展现出令人惊叹的能力，为人类社会带来更多福祉。

这个由字节跳动种子团队开发的AI数学家不仅在学术界引起了轰动，也让我们对AI的未来有了更多期待。它告诉我们，那个AI能够独立进行复杂推理、协助人类解决重大科学问题的时代，也许比我们想象的更近。

Q&A

Q1：BFS-Prover-V2的数学证明能力到底有多强？

A：BFS-Prover-V2在MiniF2F测试中达到95.08%成功率，在ProofNet测试中达到41.4%成功率。这相当于它能解决几乎所有高中数学竞赛题目，并能处理相当一部分大学本科级别的数学证明问题，水平接近优秀的数学专业学生。

Q2：这个AI系统和传统数学证明AI有什么根本性差别？

A：BFS-Prover-V2采用了团队协作模式，有专门的"规划师"负责分解问题和"证明者"负责具体执行，而且能够动态调整策略。传统系统通常是单一模型独自工作，容易在复杂问题上迷失方向，而且缺乏灵活的策略调整能力。

Q3：普通人能用到这项技术吗？有什么实际应用价值？

A：目前这项技术主要用于学术研究，但未来可能应用于教育辅导、工程设计验证、科学研究等领域。比如可以开发成智能数学导师，帮助学生学习数学证明，或者协助工程师进行复杂的理论计算和验证工作。