HAGeo：让计算机像奥数金牌选手一样解几何题的华盛顿大学新突破

这项由瑞士苏黎世联邦理工学院的段博艳、加州大学洛杉矶分校的梁肖等研究人员与微软研究院合作完成的研究，于2025年11月发表在arXiv预印本平台，论文编号为arXiv:2512.00097v1。有兴趣深入了解的读者可以通过该编号查询完整论文。

想象一下，有一台计算机能够像国际数学奥林匹克竞赛的金牌选手一样，轻松解决那些让普通人头疼不已的几何难题。这听起来像是科幻小说中的情节，但华盛顿大学和微软研究院的科学家们真的做到了。他们开发出一个名为HAGeo的系统，这个系统就像一个永不疲倦的数学天才，能够自动解决复杂的几何证明题，而且成绩比之前最先进的AI系统还要好。

要理解这项研究的意义，我们可以把几何证明想象成一场复杂的推理游戏。就像福尔摩斯破案一样，你需要从已知的线索出发，通过严密的逻辑推理，一步步揭示最终的答案。传统的几何证明需要人类数学家具备丰富的经验和敏锐的直觉，特别是在添加辅助线这个关键环节——这就像在推理过程中找到关键的突破口，往往决定着整个问题能否被解决。

在此之前，最强的几何证明AI系统是谷歌的AlphaGeometry，它就像一个需要强大GPU支持的超级计算机，通过神经网络来寻找解题的辅助构造。然而，HAGeo的研究团队发现了一个令人意外的现象：即使用最简单的随机策略来添加辅助点，也能达到AlphaGeometry的水平。这个发现就像发现了一条通往宝藏的捷径，让他们意识到可能存在更优雅的解决方案。

基于这个洞察，研究团队开发出HAGeo系统。这个系统最大的特点是完全依靠CPU运算，不需要昂贵的GPU或复杂的神经网络，就像一个只需要纸笔就能工作的数学大师。更令人印象深刻的是，HAGeo在国际数学奥林匹克几何题基准测试IMO-30上解决了30道题中的28道，达到了"金牌"水平，超越了AlphaGeometry的24道题成绩。

一、HAGeo的核心创新：启发式辅助构造

HAGeo系统的工作原理就像一个经验丰富的几何老师在解题时的思考过程。当面对一道几何题时，系统首先会尝试用基础的推理规则去解决问题，这就像是用最直接的方法去验证答案。如果基础方法行不通，系统就会开始添加辅助构造，但不是盲目地尝试，而是根据几何图形的特殊性质来选择最有希望的辅助点。

这种启发式方法就像一个熟练的厨师根据食材的特点来决定烹饪方式。HAGeo会寻找那些具有良好几何性质的点，比如多条直线的交点、圆与直线的切点等。这些点之所以重要，是因为它们往往隐藏着图形中的关键关系，就像拼图中的关键拼块，一旦找到就能让整个图案豁然开朗。

系统的智能之处在于它能够通过数值计算来验证某个辅助点是否真的有用。这个过程就像一个侦探在验证线索的真实性，只有那些能够产生非平凡几何关系的点才会被采用。比如，如果一个新构造的点恰好位于某条重要直线上，或者与其他点形成特殊的角度关系，系统就会认为这个点很有价值。

研究团队将这些启发式方法分为六大类。第一类是寻找多条直线的交点，这就像找到几条道路的汇合点，往往蕴含着重要的几何信息。第二类是寻找直线与圆的交点，这类似于找到轨道与边界的接触点。第三类是利用中点的特殊性质，中点往往是对称性的体现。第四类是反射变换，就像在镜子中找到对应点。第五类是垂足构造，类似于找到最短距离点。最后一类是随机构造，为系统提供了探索未知可能性的机会。

二、大幅提升的推理引擎

除了智能的辅助构造策略，HAGeo还对底层的推理引擎进行了重大改进，就像给一台老式汽车换上了全新的发动机。传统的DDAR（演绎数据库和代数推理）引擎虽然功能强大，但运行速度相对较慢，这在处理复杂几何问题时会成为瓶颈。

HAGeo的研究团队通过优化推理规则和实现方式，将推理速度提升了约20倍。这种提升就像从步行改为开车，不仅大大节省了时间，还让系统能够在相同时间内尝试更多的解题路径。具体来说，在IMO-30测试中，原始AlphaGeometry的DDAR引擎平均需要42.77秒来处理一道题，而HAGeo只需要1.75秒。

这种速度提升的秘密在于对推理规则的精心重新设计。研究团队发现，许多传统规则在保持逻辑正确性的同时，可以用更高效的方式来表达。就像简化复杂的数学公式，在不改变结果的前提下让计算变得更快更简洁。

比如，原来需要检查多个条件的角度推理规则，现在可以通过更直接的方式来实现。这就像从绕远路到走直线，虽然到达的目的地相同，但路径更加高效。这种优化不仅体现在单个规则上，更重要的是在整个推理网络中形成了更流畅的信息流动。

三、更严苛的评测基准：HAGeo-409

研究团队意识到，仅仅在现有的测试基准上取得好成绩是不够的，就像一个学生只在简单的练习题上表现优秀，并不能证明真正掌握了知识。现有的IMO-30基准测试虽然广泛使用，但存在一些局限性：问题数量较少（只有30道题），难度分布不均匀，且大多数题目相对简单。

为了更全面地评估几何证明系统的能力，研究团队构建了一个全新的评测基准HAGeo-409，包含409道经过专业数学家评估的几何题目。这个数据集就像从小测验升级为综合大考，不仅题目数量大幅增加，难度范围也更加广泛和均衡。

HAGeo-409的构建过程就像精心策划一场全面的能力测试。研究团队从艺术问题解决网站收集了2000多道几何题，然后通过人工智能辅助将这些自然语言描述的题目转换为标准的几何语言格式。这个过程就像把各种方言翻译成统一的标准语言，确保系统能够准确理解题目要求。

更重要的是，每道题目都配有专业的难度评级，范围从1到7分，其中1分代表相对简单，7分代表极具挑战性。在HAGeo-409中，难度1-3分的题目有161道，占39%；难度3-4分的有112道，占27%；而最具挑战性的6-7分题目也有22道。相比之下，IMO-30中70%的题目都属于较简单的1-3分范围，平均难度只有2.85分，而HAGeo-409的平均难度达到3.47分。

四、卓越的实验表现

在这个更加严苛的测试环境中，HAGeo展现出了令人印象深刻的能力。就像一位优秀的学生不仅在简单题目上游刃有余，在困难题目上也能发挥出色。在IMO-30基准测试中，HAGeo解决了28道题目中的28道，达到了"金牌"级别的表现，明显超越了AlphaGeometry的24道题成绩。

更令人惊讶的是，即使是使用随机策略添加辅助点的简单版本，也能解决25道题目，与AlphaGeometry的成绩相当。这个发现就像发现了一个被忽视的简单真理，让人重新思考问题的本质。它表明，几何证明中辅助构造的重要性可能被低估了，而复杂的神经网络可能并非必需。

在更具挑战性的HAGeo-409基准测试中，HAGeo的优势更加明显。在8192次尝试的设置下，HAGeo在最简单的1-3分难度范围内解决了149道题目中的149道，成功率达到92.5%，比AlphaGeometry高出19.2个百分点。在3-4分的中等难度范围内，HAGeo解决了93道题目中的93道，成功率为83.0%，超过AlphaGeometry 43.7个百分点。

即使在最困难的6-7分题目中，HAGeo也成功解决了2道题目，而AlphaGeometry在这个难度级别上完全束手无策。这就像在奥数竞赛中，不仅基础题目全部正确，连最难的压轴题也能解出几道，展现了系统的全面能力。

五、技术架构的巧妙设计

HAGeo的技术架构就像一个精心设计的工作流程，每个环节都有其特定的作用和价值。整个系统采用几何特定语言来描述问题，这种语言就像数学的通用语言，能够准确表达各种几何对象和关系。与AlphaGeometry只考虑点的方法不同，HAGeo的语言系统包括点、直线和圆等多种几何对象，更贴近自然的几何描述方式。

系统的核心工作流程可以比作一个经验丰富的数学老师的解题过程。首先，系统会将几何问题转换为内部表示，建立一个包含所有几何对象和关系的推理图。然后，演绎数据库引擎会像筛网一样，通过暴力搜索所有可能的推理规则来发现新的几何关系。

代数推理引擎则像一个精密的计算器，将长度、比率和角度关系转换为线性方程，通过高斯消元法来发现隐藏的数学关系。这两个引擎协同工作，就像左右手的配合，互补各自的优势。

当基础推理无法解决问题时，辅助构造模块就会发挥作用。这个模块就像一个创意大师，能够根据当前几何配置的特点，智能地选择最有希望的辅助构造。系统会通过数值计算来验证每个候选辅助点的价值，只保留那些能够产生非平凡几何关系的构造。

六、突破性意义和未来影响

HAGeo的成功具有多重意义，它不仅在技术上实现了突破，更重要的是验证了一个重要的理念：有时候最优雅的解决方案来自于对问题本质的深刻理解，而非复杂技术的堆砌。这就像古代数学家仅凭纸笔就能证明深刻的几何定理，现代计算机也可以通过巧妙的算法设计达到类似的效果。

从计算资源的角度来看，HAGeo的纯CPU设计意味着更低的部署成本和更广泛的应用可能性。这就像从需要大型发电厂的设备改为普通家用电器，让更多的研究机构和教育单位能够使用这种技术。这种可访问性的提升可能会推动几何证明自动化技术的普及。

在教育领域，HAGeo可能会成为数学教师的有力助手，帮助生成题目解答、验证证明步骤，甚至为学生提供个性化的辅导。它就像一个永远有耐心的数学导师，能够反复演示解题过程，帮助学生理解几何证明的逻辑。

对于数学研究而言，HAGeo展示了人工智能在形式化推理领域的巨大潜力。虽然目前主要专注于平面几何，但其核心思想可能适用于更广泛的数学领域。这就像掌握了一种通用的解题方法，可以举一反三应用到其他数学分支。

研究团队创建的HAGeo-409基准测试也为该领域建立了新的标准。这个更加全面和严格的评测体系就像为竞赛设定了新的规则，将推动整个领域向更高的目标迈进。

说到底，HAGeo的研究向我们展示了一个令人振奋的可能性：计算机不仅可以进行复杂的数值计算，还能够进行抽象的逻辑推理，甚至在某些方面超越人类的表现。这项研究就像在人工智能的能力边界上又推进了一大步，让我们看到了机器智能在形式化推理领域的无限潜力。

当然，这种技术突破也提醒我们思考人机协作的新模式。HAGeo不会取代数学家，但它可以成为数学研究和教育中的强大工具，就像计算器没有取代数学家一样，但极大地提升了计算效率。这种人机结合的方式可能会开启数学研究和教育的新时代，让复杂的几何证明变得更加可及和高效。

Q&A

Q1：HAGeo与AlphaGeometry相比有什么优势？

A：HAGeo最大的优势是只需要CPU就能运行，不需要昂贵的GPU和神经网络，但性能更好。在IMO-30测试中，HAGeo解决了28道题，而AlphaGeometry只解决了24道，而且运行速度快20倍。

Q2：HAGeo是如何添加辅助线的？

A：HAGeo使用启发式策略，会寻找具有良好几何性质的辅助点，比如多条直线的交点、圆与直线的切点等。它通过数值计算验证这些点是否能产生有用的几何关系，就像经验丰富的数学老师根据图形特点选择最有希望的辅助构造。

Q3：HAGeo-409基准测试有什么特别之处？

A：HAGeo-409包含409道几何题，比现有的IMO-30基准更全面严格。每道题都有专业的难度评级，平均难度3.47分比IMO-30的2.85分更高，能更好地测试几何证明系统的真实能力。