AI如何训练更聪明的数学证明专家？香港浸会大学团队破解"举一反三"难题

这项由香港浸会大学王轩武教授、马静教授团队，联合蚂蚁集团的郑达、杜伦等研究人员以及复旦大学数据科学学院合作完成的研究，发表于2025年10月的arXiv预印本论文库，论文编号为2510.00732v1。有兴趣深入了解的读者可以通过该编号查询完整论文。

当你还是学生时，是否遇到过这样的情况：明明刚做对了一道数学题，但老师稍微改动几个字或换个说法，你就完全不会了？别担心，这个问题不只困扰着人类学生，就连目前最先进的人工智能也面临着同样的尴尬。

研究团队发现了一个有趣的现象：现在的AI数学专家虽然能解决很多复杂的数学证明问题，但它们就像"书呆子"一样，只会死记硬背，缺乏真正的理解能力。比如说，如果AI学会了证明"如果x乘以y等于0，那么x等于0或者y等于0"，但当题目稍微变一下，改成"如果a乘以b等于0，那么a等于0或者b等于0"，AI可能就糊涂了，即使这本质上是完全相同的数学问题。

这就好比一个厨师只会按照菜谱做菜，如果菜谱上写着"放入200克土豆"，他就能做得很好，但如果换成"加入0.2公斤土豆"，他就不知道该怎么办了，尽管这两个表达的意思完全一样。

为了解决这个问题，研究团队开发了一套名为"EvolProver"的训练方法，就像设计了一个特殊的"训练营"，专门教AI如何举一反三。这个训练营的核心理念是从两个维度来增强AI的理解能力：对称性和难度梯度。

所谓对称性，就是教AI认识到数学中的不变本质。就像一个苹果，无论你从左边看还是右边看，它都还是那个苹果。数学问题也是如此，无论怎么换个说法或者调换顺序，其核心逻辑应该保持不变。研究团队设计了两种互补的方法来训练这种对称性理解能力。

第一种方法叫做"EvolAST"，它的工作原理就像一个非常严谨的翻译官。当我们把一个数学表达式输入电脑时，电脑会把它转换成一种叫做"抽象语法树"的结构化表示，就像把一句话拆解成主语、谓语、宾语一样。EvolAST就是在这个结构化表示的基础上，运用数学中已经被证明的各种等价关系，来生成表达方式不同但意思完全相同的新问题。

比如，原来的问题可能是"证明x加1乘以x减1等于0意味着x等于1或x等于负1"，经过EvolAST处理后，可能变成"证明x减1乘以x加1等于0意味着x等于负1或x等于1"。虽然表达顺序发生了变化，但数学本质完全没变。这就好比把"小明比小红高"改成"小红比小明矮"，意思完全一样，只是表达方式不同。

第二种方法叫做"EvolDomain"，它的作用是帮助AI理解不同数学领域之间的深层联系。数学就像一个大家庭，代数、几何、微积分等都是家庭成员，它们之间存在着奇妙的相似性。EvolDomain就像一个博学的老师，能够发现一个代数问题的逻辑结构，然后在几何或其他数学领域中找到具有相同逻辑结构的对应问题。

举个例子，原本是一个关于数字的代数问题："证明如果x减1乘以x加1等于0，那么x等于1或x等于负1。"EvolDomain可能会把它转换成一个几何问题："证明如果一个点P在单位圆上且在水平轴上，那么它的坐标必须是(1,0)或(-1,0)。"虽然一个讲的是数字，一个讲的是几何图形，但它们的逻辑结构是完全相同的。

除了对称性训练，研究团队还非常重视难度梯度的设计。他们发现，如果AI只在难度相近的题目上训练，就会形成思维定势，无法应对难度变化较大的问题。这就像一个运动员如果只进行相同强度的训练，就无法应对比赛中的各种意外情况。

为此，他们开发了"EvolDifficulty"方法，这就像一个智能的教练，能够系统性地调整题目的难度。这个"教练"掌握着五种主要的调节策略：调整逻辑结构的复杂程度、改变所需数学知识的深度、调节抽象程度、增加或减少限制条件，以及调整参数的复杂度。

比如说，如果原题是一个相对简单的二次方程问题，EvolDifficulty可以把它升级成一个需要用到更高级数学知识的问题，或者相反，把一个复杂的高等数学问题简化成基础的代数问题。这样，AI就能在各种难度层次的问题中得到训练，就像一个学生从简单的加减法一直练习到复杂的微积分，逐步建立起完整的数学能力。

整个训练过程还包含了严格的质量控制环节。就像食品生产需要质检一样，研究团队设计了双重验证机制。首先，所有生成的数学表达式都必须通过Lean 4编译器的语法检查，确保在形式上完全正确。然后，还要经过基于大语言模型的语义评估，检查生成的问题是否在数学意义上合理、前后一致，难度是否合适。只有通过这两轮严格筛选的问题才能进入最终的训练数据集。

经过这套精心设计的训练方法培养出来的EvolProver表现令人惊喜。在多个国际标准测试中，它都取得了突破性成果。在FormalMATH-Lite测试中，EvolProver达到了53.8%的成功率，超越了所有同等规模的模型，包括那些使用推理链条的模型。在MiniF2F-Test、Ineq-Comp-Seed、Ineq-Comp-Transformed等测试中，它也刷新了非推理模型的最好成绩。

特别值得一提的是，EvolProver在面对经过轻微变换的数学问题时表现尤其出色。研究团队专门设计了一个名为Ineq-Comp的测试，其中包含75个原始的奥林匹克级别不等式问题，以及150个对应的变换版本。这些变换版本看起来略有不同，但数学本质完全相同，就像前面提到的把"小明比小红高"改成"小红比小明矮"。

测试结果显示，EvolProver在处理这些变换问题时的成功率相对于原始问题的比例达到了65.17%，远远超过其他模型。这个数字意味着什么呢？简单来说，如果EvolProver能解决10道原始问题，那么当这些问题被轻微变换后，它仍然能解决其中的6到7道，而其他模型可能只能解决3到4道甚至更少。

研究团队还进行了详细的对比实验，验证每个组件的贡献。他们发现，即使是部分应用这套训练方法，也能带来10个百分点以上的性能提升。这就像在烹饪中，即使只是改进了调料的搭配，整道菜的味道也能有显著提升。

更令人兴奋的是，这套方法的效果具有普遍性。无论是在代数、几何、微积分还是数论等不同数学领域，EvolProver都展现出了更强的适应能力。特别是在一些原本表现较弱的领域，比如微积分，EvolProver甚至能够解决一些基准模型完全无法处理的问题。

从技术实现角度来看，这套方法还具有很好的可扩展性。EvolAST方法基于严格的数学等价关系，理论上可以整合任何已知的数学定理和公理作为变换规则。随着数学知识的不断积累，这个系统可以变得越来越强大，就像一个不断学习新技能的工匠，技艺会越来越精湛。

研究团队在论文中详细分析了不同策略的具体效果。他们发现，单纯使用传统的"先生成自然语言问题再形式化"的方法，验证通过率相对较低，而他们的直接进化形式化数学语句的方法效果显著更好。这就像直接在原材料上加工比先转换成半成品再加工更加高效可靠。

此外，研究还揭示了一个有趣的现象：通过EvolDomain方法，原本在数学领域分布极不均衡的训练数据变得更加平衡。比如，原始数据中代数问题占了57.5%，而微积分问题完全没有，经过EvolDomain处理后，代数问题降到20.1%，微积分问题增加到6.8%，整体分布变得更加合理。这种平衡对AI的全面发展非常重要，就像一个学生需要在各个科目上都有所涉猎，而不是只擅长某一门课。

值得一提的是，EvolProver虽然是一个"非推理"模型，即它不会像人类那样一步步展示解题过程，而是直接给出答案，但它的性能却能够媲甚至超越那些会展示推理过程的模型。这就像一个数学天才，虽然不善于解释自己的思考过程，但总能快速准确地给出答案。从实用角度来看，这种特性使得EvolProver在计算资源和时间效率方面具有显著优势。

研究团队在构建训练数据时采用了非常谨慎的方法。他们从大约330万个已验证的形式化数学表述中选取了7万个作为种子，经过演化和验证流程后，最终得到了约3.9万个高质量的训练样本。虽然数量有所减少，但质量得到了显著提升，就像精挑细选的食材虽然不多，但能做出更美味的佳肴。

整个训练过程分为两个阶段：监督微调和强化学习。监督微调阶段就像传统的课堂教学，AI通过观察正确的问题-答案对来学习。强化学习阶段则更像实际练习，AI需要自己尝试解决问题，根据成功或失败来调整自己的策略。这种两阶段的训练方法确保了AI既能掌握基础知识，又能在实际应用中灵活运用。

研究团队还特别关注了模型的鲁棒性，即面对各种变化时的稳定表现能力。他们发现，传统的AI模型往往过度依赖题目的具体表述方式，一旦表述发生变化就容易出错。而EvolProver通过系统性的对称性训练，显著提高了这种鲁棒性。这就像训练一个翻译，不仅要会翻译标准文本，还要能处理各种方言和表达习惯。

从更广阔的视角来看，这项研究揭示了人工智能学习的一个重要原理：多样性胜过数量。与其给AI喂食大量相似的训练数据，不如提供结构多样但本质相同的问题。这个发现对整个人工智能领域都有重要启示，不仅适用于数学证明，也可能适用于自然语言处理、图像识别等其他领域。

说到底，这项研究解决的不仅仅是一个技术问题，更是探索了智能学习的本质。真正的智能不应该是死记硬背，而应该是能够理解事物的本质，并在各种情况下灵活运用这种理解。EvolProver的成功表明，通过精心设计的训练方法，我们确实可以让AI获得这种更深层次的理解能力。

这项研究的意义远不止于数学证明本身。在未来，这种"举一反三"的能力可能会应用到教育、科研、工程设计等各个领域。比如，一个具备这种能力的AI助手可能能够帮助学生更好地理解数学概念，或者协助研究人员发现不同领域之间的隐藏联系。

当然，这项研究也提出了新的思考。如果AI能够在数学证明中展现出如此强的举一反三能力，那么在其他需要深度理解和灵活应用的领域，我们是否也能开发出类似的训练方法？这个问题的答案可能会决定人工智能发展的下一个重要方向。

对于普通人来说，这项研究最直接的意义可能在于未来的教育和学习工具。设想一下，如果有一个AI老师能够根据学生的理解程度自动调整题目难度，能够用不同的方式反复解释同一个概念直到学生真正理解，那么学习数学将变得更加高效和有趣。EvolProver的成功为这种未来的学习工具奠定了重要的技术基础。

Q&A

Q1：EvolProver是什么？它和其他AI数学模型有什么不同？

A：EvolProver是由香港浸会大学团队开发的AI数学证明模型，它的特别之处在于具备"举一反三"的能力。传统AI模型就像死记硬背的学生，稍微改变题目表述就不会了，而EvolProver通过特殊训练方法，能够理解数学问题的本质，即使题目换个说法也能正确解答。

Q2：EvolProver的训练方法具体是怎样的？

A：研究团队设计了三种核心方法：EvolAST通过数学等价变换生成表达不同但本质相同的问题；EvolDomain将同一逻辑结构的问题在不同数学领域间转换；EvolDifficulty系统性调整问题难度。这就像让AI在各种变化的环境中反复练习，最终获得真正的理解能力。

Q3：这项研究对普通人有什么实际意义？

A：这项研究最直接的应用前景是智能教育工具。未来可能出现能够根据学生理解程度自动调整难度、用多种方式解释同一概念的AI老师，让数学学习变得更高效有趣。此外，这种"举一反三"的训练方法也可能应用到其他AI领域，提升人工智能的整体理解能力。