俄罗斯学者打造矩阵运算"节能神器"：仅用58次加法完成3×3矩阵相乘

这项由俄罗斯科学院系统编程研究所TAI研究中心的安德鲁·I·佩尔米诺夫博士完成的研究发表于2025年12月29日，论文编号为arXiv:2512.21980v1，研究成果刊登在计算机科学数据结构领域期刊上。

在我们日常使用的电脑、手机乃至各种智能设备中，都藏着一个看似简单却极其重要的数学运算——矩阵相乘。你可能不知道，当你看视频、玩游戏或使用任何图形界面时，设备内部都在疯狂地进行着矩阵运算。而每一次矩阵相乘，都需要消耗大量的计算资源。这就好比一个厨师每做一道菜都要重复许多基础动作——切菜、调味、翻炒。如果能让这些基础动作更高效，整个烹饪过程就能更快更省力。

俄罗斯科学家佩尔米诺夫博士最近就在这个领域取得了突破性进展。他开发出了一种新的算法，能够用史无前例的少量运算完成3×3矩阵的相乘运算。这个成果看似只是数学上的小改进，但实际上就像是发现了一条更短的回家路线，能让所有经过的人都受益。

要理解这项研究的价值，我们需要先了解什么是矩阵运算，以及为什么它如此重要。矩阵可以想象成一个装满数字的方格表，就像一个3×3的九宫格，每个格子里都有一个数字。当两个这样的九宫格需要"相乘"时，并不是简单地把对应位置的数字相乘那么简单，而是需要进行一系列复杂的计算。

在传统的计算方法中，完成一次3×3矩阵相乘需要进行27次乘法运算和18次加法运算。这就像是按照最原始的食谱做菜，每个步骤都严格按部就班。但聪明的数学家们发现，通过巧妙的安排和组合，可以用更少的运算达到同样的结果。这就像是一个经验丰富的厨师，能够同时处理多个步骤，让整个过程更高效。

1969年，德国数学家施特拉森首次证明了可以用少于27次乘法运算来完成矩阵相乘，这一发现震惊了整个数学界。从那时起，无数研究者投入到寻找更高效算法的竞赛中。他们的目标不仅是减少乘法运算的次数，还要减少加法运算的数量。因为在实际的计算机运算中，每一次操作都会消耗时间和能源。

佩尔米诺夫博士的研究专注于一种特殊的计算方案，这种方案只需要23次乘法运算（这是目前已知的理论最小值），而他的突破在于将所需的加法运算次数从之前最好的60次减少到了58次。别小看这2次运算的减少，在需要进行大量矩阵运算的应用场景中，这种改进能够带来可观的效率提升。

一、算法设计的核心思想

佩尔米诺夫博士采用的方法可以比作一个精明的建筑承包商重新设计施工流程。传统的矩阵运算就像是按照标准图纸建房子，每个步骤都清晰明确，但未必是最省材料的方案。而新算法的设计思路是重新审视整个"施工过程"，找出可以共享的"材料"和"工序"。

在数学上，这种方法叫做"公共子表达式消除"。简单来说，就是在复杂的计算过程中找出那些重复出现的计算片段，把它们提取出来单独计算一次，然后在需要的地方重复使用结果。这就像是在烹饪时提前准备好常用的调料包，需要时直接使用，而不是每次都重新调配。

研究团队使用的搜索算法名为"三进制翻转图搜索"，听起来很复杂，但本质上是一种智能的试错方法。这个过程就像是一个超级棋手在下棋，不断尝试不同的走法，通过大量的组合和测试，寻找最优解。算法会在所有可能的计算方案中穿梭，每当找到一种更好的组合方式，就记录下来并继续优化。

更巧妙的是，这种算法限制所有的系数都只能是-1、0、1这三个值。这个限制看似增加了难度，实际上却带来了巨大的实用价值。因为对于计算机来说，乘以-1或1比乘以任意数字要简单得多，这就相当于只允许使用"加"、"减"和"不变"三种最基本的操作。这样得出的算法不仅效率高，而且在各种不同的计算环境中都能保持稳定的性能。

二、技术实现的精妙之处

在实际的算法设计过程中，研究团队面临着一个巨大的搜索空间。可以想象这就像是在一个有无数条路径的迷宫中寻找最短路线。传统的穷举法完全不可行，因为可能的组合数量是天文数字。

佩尔米诺夫博士设计的搜索算法分为三个阶段，就像是一个三步走的探索策略。第一阶段是"翻转到目标等级"，算法会使用随机翻转来改变计算方案，直到达到需要的23次乘法运算。这个过程中，如果算法遇到死胡同，无法继续优化，它会使用一个叫做"加法算子"的技巧，暂时增加运算次数来摆脱困境，然后继续寻找更好的方案。

第二阶段是"贪心交集减少"，这是整个算法的精华部分。在这个阶段，算法会仔细检查所有的计算表达式，寻找那些可以合并的部分。就像一个细心的管家整理家务，把所有相似的任务归类处理，避免重复劳动。算法会评估每个可能的合并方案，选择能够最大程度减少总运算次数的组合。

第三阶段是"随机变化"，这看似是在增加随机性，实际上是为了避免算法陷入局部最优解。就像爬山时偶尔需要向下走一段路才能发现更高的山峰一样，算法会故意引入一些看似不太好的变化，为后续的优化创造新的可能性。

整个搜索过程在一台普通笔记本电脑上运行了大约30分钟就找到了这个58次加法的方案。这个时间成本相比于算法带来的长期收益来说是微不足道的，证明了这种方法的实用性。

三、算法的具体表现

最终得出的58次加法算法是一个精心编排的计算序列。整个过程使用了20个中间变量，这些变量就像是烹饪中的半成品，提前准备好后可以在最后的组合阶段快速使用。

具体来说，算法首先为输入的第一个矩阵准备4个中间变量，为第二个矩阵准备8个中间变量。这些中间变量都是通过简单的加减法运算得到的。然后，算法进行23次乘法运算，每次运算都是将精心选择的中间变量相乘。最后，通过8个额外的中间变量来组合这些乘法结果，得到最终的矩阵乘法结果。

令人印象深刻的是，在58次加法运算中，有34次是加法，24次是减法。这种平衡分配不是偶然的，而是算法优化的结果。每个中间变量的定义都经过精心设计，确保没有任何多余的计算步骤。

更重要的是，这个算法具有很强的可移植性。由于所有系数都限制在{-1, 0, 1}这个范围内，算法可以在任何数学系统中使用，无论是整数运算、实数运算还是更复杂的代数系统。这就像是设计了一把万能钥匙，可以打开各种不同的锁。

四、实际应用价值

虽然从60次减少到58次看起来改进幅度不大，但在实际应用中，这种改进的价值不可小觑。现代计算机图形学、人工智能、科学计算等领域都需要进行大量的矩阵运算。在这些应用场景中，即使是微小的效率提升也会带来显著的整体性能改善。

以计算机游戏为例，游戏引擎需要实时计算大量的三维变换，每秒钟可能要进行数百万次矩阵运算。如果每次运算都能节省2次加法操作，累积起来的效果就相当可观。这不仅能让游戏运行更流畅，还能减少设备的功耗，延长电池续航时间。

在人工智能训练中，矩阵运算更是无处不在。深度学习模型的训练过程本质上就是大规模的矩阵计算。每一点效率的提升都能缩短训练时间，降低计算成本。对于需要在移动设备上运行的AI应用来说，这种算法优化甚至可能决定应用是否能够实际部署。

科学计算领域同样能从这种优化中获益。无论是天气预报、基因分析还是物理仿真，都需要处理大量的数值计算。在这些应用中，计算效率的提升直接转化为研究效率的提升，让科学家能够处理更大规模的问题或获得更精确的结果。

五、技术验证与可靠性

为了确保算法的正确性，研究团队进行了详细的验证工作。他们使用了两种验证方法：符号验证和数值验证。

符号验证是通过数学推导来证明算法的正确性。研究团队将所有中间变量替换回原始的矩阵元素，重新构建出完整的系数张量，并验证这些张量满足被称为"布伦特方程"的数学条件。这种验证方法从理论上保证了算法在任何情况下都能给出正确结果。

数值验证则是通过大量的实际计算测试来检验算法。研究团队编写了Python程序，对10000对随机生成的3×3矩阵进行运算，将新算法的结果与标准矩阵乘法的结果进行比较。所有测试都显示结果完全一致，证明了算法的可靠性。

这种双重验证策略确保了算法既有理论保证又有实践支撑。对于需要高精度计算的应用来说，这种可靠性至关重要。毕竟，一个运算更快但结果不准确的算法是没有任何价值的。

六、研究方法的创新意义

佩尔米诺夫博士的研究不仅在结果上取得了突破，在方法上也有重要创新。传统的算法搜索通常需要大量的计算资源和很长的时间，而这项研究证明了合理设计的启发式搜索算法可以在普通计算机上快速找到高质量的解决方案。

这种方法的成功为其他类似问题的研究提供了新的思路。在数学和计算机科学中，有很多问题都涉及在巨大的搜索空间中寻找最优解。传统的暴力搜索方法往往不可行，而智能搜索算法的设计就成了关键。

更重要的是，这项研究展示了理论研究与实际应用结合的重要性。算法不仅要在数学上优雅，还要在工程实践中可行。通过限制系数范围和优化搜索策略，研究者成功地在理论突破和实用性之间找到了平衡点。

研究团队还开源了验证代码，这种开放的研究态度有助于其他研究者验证结果、改进方法或将其应用到新的问题中。这体现了现代科学研究协作共享的精神。

说到底，佩尔米诺夫博士的这项研究虽然看似只是在数学公式上做了一点改进，但实际上触及了现代计算的核心问题——如何让计算更高效。在一个越来越依赖计算的时代，每一点效率的提升都具有广泛的影响。这项研究从一个小的技术突破出发，为整个计算领域提供了新的可能性。

对于普通人来说，这意味着未来的手机可能会更省电，游戏可能会更流畅，各种智能应用可能会响应更快。虽然我们可能永远不会直接接触到这些算法，但我们会在日常使用各种电子设备时享受到这些技术进步带来的便利。

这就是基础研究的魅力所在——看似抽象的数学突破，最终会以我们意想不到的方式改善我们的生活。佩尔米诺夫博士的58次加法算法可能只是这个改善过程中的一小步，但正是无数这样的小步积累起来，推动着整个技术世界向前发展。

对于那些对技术细节感兴趣的读者，可以通过arXiv预印本服务器查询论文编号arXiv:2512.21980v1来获取完整的研究论文，深入了解算法的数学细节和实现方法。

Q&A

Q1：为什么3×3矩阵乘法这么重要？

A：3×3矩阵乘法是计算机图形学、人工智能和科学计算的基础运算。在游戏、AI训练、图像处理等应用中，设备每秒要进行数百万次这样的运算，任何效率提升都会带来显著的性能改善和功耗降低。

Q2：从60次减少到58次加法真的有那么大意义吗？

A：虽然单次减少2次运算看起来很小，但在需要大量重复计算的场景中，这种改进会累积产生巨大影响。就像每次开车节省1分钟，一年下来就能节省很多时间一样。

Q3：普通人能使用这个58次加法算法吗？

A：这个算法主要用于底层数学库的优化，普通用户不会直接使用，但会在使用各种软件和应用时间接受益，比如游戏更流畅、手机更省电、AI应用响应更快等。